Exercícios Resolvidos de Geometria

1)  Quantos litros de água são necessários para encher completamente uma caixa d'água, com formato de um paralelepídedo retângulo (prisma reto quadrangular), cujas as dimensões (internas) são: 0,90 m de comprimento, 0,70 m de largura e 0,80 m de altura?

SOLUÇÃO:  A geometria espacial trata, entre outras coisas, do cálculo do volume dos sólidos geométricos. O volume é a medida do espaço ocupado por um sólido geométrico. Sabe-se que 1m³ = 1000 litros. 

O sólido geométrico em questão tem 8 vértices, 6 faces e 12 arestas. Chamamos de prisma quadrangular. 

O volume do prisma é o produto da área da base (A_b) pela altura (h). 
A_b = 0,90 × 0,70 = 0,63 m² . 
Como h = 0,80, então V = 0,63 × 0,80 = 0,504 m³ .

 Logo: V = 0,504 × 1000 = 504 litros.

2) A área total de um prisma é a soma de todas as áreas de suas faces laterais com as áreas das bases. Determine a área total e o volume de um prisma reto triangular de altura igual a 12 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6cm e 8cm.

SOLUÇÃO: Observe que o sólido abaixo tem 6 vértices, 5 faces (3 retângulos e 2 triângulos) e 9 arestas. Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.

 Como o triângulo da base é retângulo, a área da base é a metade do produto dos catetos, ou seja, 

A_b = 6 × 8 / 2 = 24 cm².
Pelo Teorema de Pitágoras temos que: a² = 6² + 8² = 100 , onde a é a hipotenusa. Como a raiz quadrada de 100 é 10, segue que a = 10 cm.
Assim, as áreas das outras faces são:
área₁ = 6 × 12 = 72 cm² ; área₂ = 8 ×12 = 96 cm² ; área₃ = 10 × 12 = 120.
Logo a área total = 24 + 24 + 72 + 96 + 120 = 336 cm².
Como o volume é o produto da área da base pela altura, segue que V = 24 × 12 = 288 cm³.

3) A pirâmide de Queóps (construída por volta de 2.500 anos antes de Cristo), no Egito, tem 146 m de altura. Sua base é um enorme quadrado, cujo lado mede 246 m. 

Se um caminhão basculante carrega 6 m³ de areia, quantos deles seriam necessários para transportar um volume de areia igual ao volume da pirâmide?

SOLUÇÃO:  Chamamos de pirâmide quadrangular aquela cuja base é um quadrilátero. Note que o sólido tem 5 vértices, 5 faces  (4 triângulos e 1 quadrado) e 8 arestas.

 O volume da pirâmide é igual a terça parte do volume de um prisma de mesma base e altura. 

A área da base é A_b = 246 × 246 = 60.516 m².
O volume é V = 60.516 × 146 / 3 = 8.835.336 / 3 = 2.945.112 m³. 
Assim, seriam necessários: 2.945.112 m³ / 6 m³ = 490.852 caminhões.

4) Um tipo de folha de papel muito usado nas máquinas copiadoras é o de formato A4. Este tipo de papel tem forma retangular com 21 cm de largura por 29,7 cm de comprimento. Calcule o volume de uma pilha, com 20 cm de altura, de papel A4.

SOLUÇÃO: Esta pilha tem o formato de um prisma quadrangular. Calculando a área da base retangular encontramos: 
A_b = 21 × 29,7 = 623,7 cm². Logo o volume da pilha de papel é: V = 623,7 × 20 = 12.474 cm³ .

5) (FATEC) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

SOLUÇÃO: Poliedro é um sólido limitado externamente por planos (faces) no espaço tridimensional. Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une dois de seus pontos, quaisquer, está contido no poliedro. São exemplos de poliedros convexos: os prismas, as pirâmides e os Sólidos de Platão (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro). Um teorema de Euler afirma que em todo poliedro convexo com número de arestas A, número de vértices V e número de faces F, vale a relação: V + F – A = 2 .

Na questão, temos que o número de faces é F = 3 + 2 + 4 = 9.

Se tem 3 faces com 4 lados, então tem 3×4 = 12 arestas.

Se tem 2 faces com 3 lados, então tem 2×3 = 6 arestas.

Se tem 4 faces com 5 lados, então tem 4×5 = 20 arestas.

Assim, o total de arestas seria de 12 + 6 + 20 = 38 .

No entanto, as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Quando contamos todas as arestas de todas as faces dessa maneira, cada aresta é contada duas vezes.

Logo, o número total de aresta é na verdade A = 38 / 2 = 19.

Usando a Relação de Euler, temos: V + 9 - 19 = 2.

Portanto, o número de vértices desse poliedro é V = -9 + 19 + 2 = 12.

6) (Unijui-RS) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado em outro recipiente que possui forma cilíndrica.

Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura atingirá o líquido no cilindro? 

(A) 1/3 m

(B) 33 cm

(C) 66 cm

(D) 55 cm

(E) p / 3 m

SOLUÇÃO:  O volume de um cone é igual à terça parte do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura, ou seja, é a terça parte do produto da área da base (área do círculo) pela altura. Como, o cilindro tem 1m de altura, então , a altura do líquido no cilindro é 1/3 m. 

De fato, o volume do cone é V = p(25)²(1) / 3 = 625p / 3. Despejando este volume no cilindro, onde h é a altura do líquido, teremos 625p / 3 = (625p)(h). 
Logo, a altura h = 1/3 m, correspondendo a opção (A).

(Fonte: http://www.profezequias.net/poliedros.html )