Visita ao site "SóMatemática"

Em uma de nossas aulas no laboratório de informática encontramos o site: www.somatematica.com.br , onde tivemos quarenta e cinco minutos divertidos.
O site conta com vários recursos recreativos como jogos de muitos estilos, avaliações, testes e muitos outros.
Nossa visita no site foi direcionada aos jogos matemáticos, onde jogamos o Jogo da Forca, Palavras Cruzadas, Desafios, tudo envolvendo atividades matemáticas.
Vale a pena conferir! 

Exercícios Resolvidos de Geometria

1)  Quantos litros de água são necessários para encher completamente uma caixa d'água, com formato de um paralelepídedo retângulo (prisma reto quadrangular), cujas as dimensões (internas) são: 0,90 m de comprimento, 0,70 m de largura e 0,80 m de altura?

SOLUÇÃO:  A geometria espacial trata, entre outras coisas, do cálculo do volume dos sólidos geométricos. O volume é a medida do espaço ocupado por um sólido geométrico. Sabe-se que 1m³ = 1000 litros. 

O sólido geométrico em questão tem 8 vértices, 6 faces e 12 arestas. Chamamos de prisma quadrangular. 

O volume do prisma é o produto da área da base (A_b) pela altura (h). 
A_b = 0,90 × 0,70 = 0,63 m² . 
Como h = 0,80, então V = 0,63 × 0,80 = 0,504 m³ .

 Logo: V = 0,504 × 1000 = 504 litros.

2) A área total de um prisma é a soma de todas as áreas de suas faces laterais com as áreas das bases. Determine a área total e o volume de um prisma reto triangular de altura igual a 12 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6cm e 8cm.

SOLUÇÃO: Observe que o sólido abaixo tem 6 vértices, 5 faces (3 retângulos e 2 triângulos) e 9 arestas. Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.

 Como o triângulo da base é retângulo, a área da base é a metade do produto dos catetos, ou seja, 

A_b = 6 × 8 / 2 = 24 cm².
Pelo Teorema de Pitágoras temos que: a² = 6² + 8² = 100 , onde a é a hipotenusa. Como a raiz quadrada de 100 é 10, segue que a = 10 cm.
Assim, as áreas das outras faces são:
área₁ = 6 × 12 = 72 cm² ; área₂ = 8 ×12 = 96 cm² ; área₃ = 10 × 12 = 120.
Logo a área total = 24 + 24 + 72 + 96 + 120 = 336 cm².
Como o volume é o produto da área da base pela altura, segue que V = 24 × 12 = 288 cm³.

3) A pirâmide de Queóps (construída por volta de 2.500 anos antes de Cristo), no Egito, tem 146 m de altura. Sua base é um enorme quadrado, cujo lado mede 246 m. 

Se um caminhão basculante carrega 6 m³ de areia, quantos deles seriam necessários para transportar um volume de areia igual ao volume da pirâmide?

SOLUÇÃO:  Chamamos de pirâmide quadrangular aquela cuja base é um quadrilátero. Note que o sólido tem 5 vértices, 5 faces  (4 triângulos e 1 quadrado) e 8 arestas.

 O volume da pirâmide é igual a terça parte do volume de um prisma de mesma base e altura. 

A área da base é A_b = 246 × 246 = 60.516 m².
O volume é V = 60.516 × 146 / 3 = 8.835.336 / 3 = 2.945.112 m³. 
Assim, seriam necessários: 2.945.112 m³ / 6 m³ = 490.852 caminhões.

4) Um tipo de folha de papel muito usado nas máquinas copiadoras é o de formato A4. Este tipo de papel tem forma retangular com 21 cm de largura por 29,7 cm de comprimento. Calcule o volume de uma pilha, com 20 cm de altura, de papel A4.

SOLUÇÃO: Esta pilha tem o formato de um prisma quadrangular. Calculando a área da base retangular encontramos: 
A_b = 21 × 29,7 = 623,7 cm². Logo o volume da pilha de papel é: V = 623,7 × 20 = 12.474 cm³ .

5) (FATEC) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

SOLUÇÃO: Poliedro é um sólido limitado externamente por planos (faces) no espaço tridimensional. Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une dois de seus pontos, quaisquer, está contido no poliedro. São exemplos de poliedros convexos: os prismas, as pirâmides e os Sólidos de Platão (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro). Um teorema de Euler afirma que em todo poliedro convexo com número de arestas A, número de vértices V e número de faces F, vale a relação: V + F – A = 2 .

Na questão, temos que o número de faces é F = 3 + 2 + 4 = 9.

Se tem 3 faces com 4 lados, então tem 3×4 = 12 arestas.

Se tem 2 faces com 3 lados, então tem 2×3 = 6 arestas.

Se tem 4 faces com 5 lados, então tem 4×5 = 20 arestas.

Assim, o total de arestas seria de 12 + 6 + 20 = 38 .

No entanto, as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Quando contamos todas as arestas de todas as faces dessa maneira, cada aresta é contada duas vezes.

Logo, o número total de aresta é na verdade A = 38 / 2 = 19.

Usando a Relação de Euler, temos: V + 9 - 19 = 2.

Portanto, o número de vértices desse poliedro é V = -9 + 19 + 2 = 12.

6) (Unijui-RS) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado em outro recipiente que possui forma cilíndrica.

Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura atingirá o líquido no cilindro? 

(A) 1/3 m

(B) 33 cm

(C) 66 cm

(D) 55 cm

(E) p / 3 m

SOLUÇÃO:  O volume de um cone é igual à terça parte do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura, ou seja, é a terça parte do produto da área da base (área do círculo) pela altura. Como, o cilindro tem 1m de altura, então , a altura do líquido no cilindro é 1/3 m. 

De fato, o volume do cone é V = p(25)²(1) / 3 = 625p / 3. Despejando este volume no cilindro, onde h é a altura do líquido, teremos 625p / 3 = (625p)(h). 
Logo, a altura h = 1/3 m, correspondendo a opção (A).

(Fonte: http://www.profezequias.net/poliedros.html )

Planificação de sólidos Geométricos

 Cubo

Prisma Triangular

Prisma Pentagonal





Prisma HexagonalParalelepípedo Retângulo
 Cilindro


  Cone
  Pirâmide de Base Quadrada

História da Geometria

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates.

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração para construir de maneira lógica de tudo. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

O corpo como unidade

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Ângulos e figuras

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.

Para medir superfícies

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.

Muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela,puderam tirar algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura. Ahmes solucionou o problema facilmente: concluiu que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14. O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional.

Por volta de 500 a.C., a curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos.

Aplicações da Geometria

A geometria é muito utilizada em nosso cotidiano. Sem ela não seria possível fazer construções, nem outros objetos de utensílios essenciais no desenvolvimento do homem. Ou seja, a geometria contribuiu muito para o desenvolvimento humano sem esquecer da natureza e do meio que nos envolve.
No nosso dia-a-dia temos a aplicação da geometria em:

Colméia – uma típica aplicação da geometria, onde há hexágonos por toda sua extensão


Pirâmides do Egito - foram projetadas pelos antigos egípcios, são umas das mais antigas demonstrações da geometria.

Prédios - Uma das construções mais modernas hoje em dia, muito necessário em nossas vidas, sendo construído pelo homem, percebendo nitidamente a geometria em suas formas.

Ponte - É uma estrutura calculada geometricamente, pois abrange a utilização de transportes, tendo que ser bastante segura. Ela possui várias formas geométricas como: retângulos, cones entre outros.

Relógio - possui o formato de uma circunferência e foi uma das invenções do homem mais importante que teve grande influencia nas nossas vidas, pois é por meio dele que o homem moderno vê as horas.

Tales de Mileto (625 a.C.-526 a.C.)

Filósofo grego e matemático (625 a.C.-546 a.C.). Considerado o primeiro filósofo grego,Tales de Mileto foi introdutor da Geometria na Grécia.
Ao aposentar-se, dedica-se à matemática e estabelece os primeiros postulados básicos da Geometria. Estuda retas e ângulos e faz demonstrações formais e rigorosas sobre as relações geométricas no círculo e no triângulo isósceles. É atribuído a ele o cálculo da altura de uma pirâmide a partir do comprimento de sua sombra, em determinado horário do dia e, dependendo da posição do sol.
Na Filosofia, Tales defendeu a existência de uma substância fundamental que dá origem ao movimento e à transformação da vida. Para ele, o princípio de tudo é a água. "O morto resseca, enquanto os germes são úmidos, e os alimentos cheios de seiva", ele dizia. Até Tales, todas as explicações sobre o Universo eram mitológicas. Nenhum de seus escritos sobreviveu. Suas idéias filosóficas são conhecidas graças à Metafísica, de Aristóteles.