Planificação de sólidos Geométricos

 Cubo

Prisma Triangular

Prisma Pentagonal





Prisma HexagonalParalelepípedo Retângulo
 Cilindro


  Cone
  Pirâmide de Base Quadrada

História da Geometria

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates.

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração para construir de maneira lógica de tudo. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

O corpo como unidade

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Ângulos e figuras

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.

Para medir superfícies

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.

Muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela,puderam tirar algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura. Ahmes solucionou o problema facilmente: concluiu que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14. O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional.

Por volta de 500 a.C., a curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos.

Aplicações da Geometria

A geometria é muito utilizada em nosso cotidiano. Sem ela não seria possível fazer construções, nem outros objetos de utensílios essenciais no desenvolvimento do homem. Ou seja, a geometria contribuiu muito para o desenvolvimento humano sem esquecer da natureza e do meio que nos envolve.
No nosso dia-a-dia temos a aplicação da geometria em:

Colméia – uma típica aplicação da geometria, onde há hexágonos por toda sua extensão


Pirâmides do Egito - foram projetadas pelos antigos egípcios, são umas das mais antigas demonstrações da geometria.

Prédios - Uma das construções mais modernas hoje em dia, muito necessário em nossas vidas, sendo construído pelo homem, percebendo nitidamente a geometria em suas formas.

Ponte - É uma estrutura calculada geometricamente, pois abrange a utilização de transportes, tendo que ser bastante segura. Ela possui várias formas geométricas como: retângulos, cones entre outros.

Relógio - possui o formato de uma circunferência e foi uma das invenções do homem mais importante que teve grande influencia nas nossas vidas, pois é por meio dele que o homem moderno vê as horas.

Tales de Mileto (625 a.C.-526 a.C.)

Filósofo grego e matemático (625 a.C.-546 a.C.). Considerado o primeiro filósofo grego,Tales de Mileto foi introdutor da Geometria na Grécia.
Ao aposentar-se, dedica-se à matemática e estabelece os primeiros postulados básicos da Geometria. Estuda retas e ângulos e faz demonstrações formais e rigorosas sobre as relações geométricas no círculo e no triângulo isósceles. É atribuído a ele o cálculo da altura de uma pirâmide a partir do comprimento de sua sombra, em determinado horário do dia e, dependendo da posição do sol.
Na Filosofia, Tales defendeu a existência de uma substância fundamental que dá origem ao movimento e à transformação da vida. Para ele, o princípio de tudo é a água. "O morto resseca, enquanto os germes são úmidos, e os alimentos cheios de seiva", ele dizia. Até Tales, todas as explicações sobre o Universo eram mitológicas. Nenhum de seus escritos sobreviveu. Suas idéias filosóficas são conhecidas graças à Metafísica, de Aristóteles.